Methode: We bepalen de oplossing uit de geveegde uitgebreide matrix.
| geveegde matrix | vereenvoudigd stelsel |
| (i) & {x1=ax2=bx3=c & | $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & a\\ 0 & 1 & 0 & | & b\\ 0 & 0 & 1 & | &c\\ \end{pmatrix} |
|
(ii) & {x1=ax2=b0=c |
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | &a\\ 0 & 1 & 0 & | & b\\ 0 & 0 & 0 & | &c\\ \end{pmatrix} |
| (iii) & {x1=ax2=bx3+x4=c | $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 &| & a\\ 0 & 1 & 0 & 0 & | &b\\ 0 & 0 & 1 & 1 &| & c\\ \end{pmatrix} |
- Stelsel (i) heeft precies één oplossing, te weten (x1,x2,x3)=(a,b,c), welke waarden we ook kiezen voor a, b en c. Dit zien we terug in de uitgebreide matrix, waar de hoofddiagonaal alleen enen bevat en alle andere elementen nul zijn.
- In stelsel (ii) liggen de waarden van x1 en x2 vast, welke waarden we ook kiezen voor a en b. De derde vergelijking dient gelezen te worden als 0⋅x1+0⋅x2+0⋅x3=c. Alleen voor c=0 klopt deze vergelijking. Voor alle andere waarden van c heeft de vergelijking, en dus heel stelsel (ii), geen oplossing. Merk op dat in het geval c=0 het stelsel niet één maar oneindig veel oplossingen heeft. Voor iedere mogelijke waarde van x3 is de derde vergelijking kloppend. We noemen x3 daarom een vrije variabele en noteren alle oplossingen van het stelsel als (x1x2,x3)=(a,b,x3), met x3∈R.
- Stelsel (iii) heeft voor iedere waarde van a, b en c oneindig veel oplossingen. De derde vergelijking bevat namelijk twee variabelen, waarvan er één vrij te kiezen is. Kiezen we x4 als vrije variabele dan kunnen we alle oplossingen van het stelsel noteren als (x1,x2,x3,x4)=(a,b,c−x4,x4), met x4∈R.