Opgave 1 | Wiskunde op Tilburg University

Gegeven is de functie

$Z(x) = z(x,y(x))$ , waarbij

$z(x,y) = e^{x^2 + y} \quad \text{en} \quad y(x) = \ln(x^2 + 5).$
Bepaal

$Z'(x)$ .

Antwoord 1 correct

Correct

Antwoord 2 optie

$Z'(x) = e^{x^2+\ln(x^2+5)} + \dfrac{2xe^{x^2 + \ln(x^2+5)}}{x^2+5}.$

Antwoord 2 correct

Fout

Antwoord 3 optie

$Z'(x) = (2x+1)e^{x^2+\ln(x^2+5)}.$

Antwoord 3 correct

Fout

Antwoord 4 optie

Deze afgeleide kunnen we niet bepalen, want er is geen functie voor

$x$ gegeven.

Antwoord 4 correct

Fout

Antwoord 1 optie

$Z'(x) = 2x(x^2+6)e^{x^2}.$

Antwoord 1 feedback

Correct: De partiële afgeleiden van

$z(x,y)$ in het punt

$(x,y(x))$ en de afgeleide van

$y(x)$ zijn:

$\begin{align*} z'_x(x,y) &= e^{x^2+y}\cdot 2x = 2xe^{x^2+y}\\ z'_x(x,y(x)) &= 2xe^{x^2 + \ln(x^2+5)}=2xe^{x^2}e^{\ln(x^2+5)} = 2x(x^2+5)e^{x^2} \\[2mm] z'_y(x,y) &= e^{x^2+y}\cdot 1 = e^{x^2+y}\\ z'_y(x,y(x)) &= e^{x^2+\ln(x^2+5)} = e^{x^2}e^{\ln(x^2+5)}= (x^2+5)e^{x^2}\\[2mm] y'(x) &= \dfrac{1}{x^2+5} \cdot 2x = \dfrac{2x}{x^2+5}. \end{align*}$
Volgens kettingregel (geval 2) geldt nu:

$\begin{align*} Z'(x) &= 2x(x^2+5)e^{x^2} + (x^2+5)e^{x^2} \cdot \dfrac{2x}{x^2+5}= 2x(x^2+5)e^{x^2} + 2xe^{x^2} \\ &= 2xe^{x^2}(x^2+5+1) = 2x(x^2+6)e^{x^2}. \end{align*}$

Ga door.

Antwoord 2 feedback

Fout:

$z'_x(x,y) \neq e^{x^2+y}$ .

Zie Kettingregel.

Antwoord 3 feedback

Fout: Vergeet de kettingregel: speciaal geval 2 niet toe te passen.

Zie Kettingregel (geval 2), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.

Antwoord 4 feedback

Fout: We hebben hier te maken met speciaal geval 2 van de kettingregel, niet speciaal geval 1.

Zie Kettingregel (geval 1), Kettingregel (geval 2), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.