Het nut van een consument wordt gegeven door U(x)=z(x,y(x)), waarbij
z(x,y)=x2y3eny(x)=10x,waarbij0x10.
Vind alle waarden van x waarvoor de raaklijn van U(x) horizontaal is.

De raaklijn aan een functie is horizontaal in een punt als de afgeleide in dat punt gelijk aan 0 is. We zullen dus alle x moeten vinden waarvoor geldt dat
U(x)=0.
We zullen dus eerst de afgeleide van U(x) moeten bepalen. Volgens de kettingregel (geval 2) geldt dat
U(x)=zx(x,y(x))+zy(x,y(x))y(x).
We hebben dus de partiële afgeleiden van z(x,y) in het punt (x,y(x)) en de afgeleide van y(x) nodig:
zx(x,y)=y32x=2xy3zx(x,y(x))=2x(10x)3=2x(10x)3zy(x,y)=x23y2=3x2y2zy(x,y(x))=3x2(10x)2=3x2(10x)2y(x)=1.
We vinden nu U(x) door de uitdrukkingen van zx(x,y(x)), zy(x,y(x)) en y(x) in te vullen:
U(x)=2x(10x)3+3x2(10x)2(1)=2x(10x)33x2(10x)2=x(10x)2(2(10x)3x)=x(10x)2(202x3x)=x(10x)2(205x).
Tenslotte moeten we U(x)=0 oplossen:
x(10x)2(205x)=0x=0 of (10x)2=0 of 205x=010x=020=5xx=10x=4
Merk op dat alle drie de oplossingen voldoen aan 0x10. We hebben dus drie waarden van x waarvoor geldt dat de raaklijn aan U(x) horizontaal is:
$$ x=0 $, $x=4$ en $x=10.$