Het nut van een consument wordt gegeven door $U(x) = z(x,y(x))$, waarbij
$$z(x,y) = x^2y^3 \quad \text{en} \quad y(x) = 10-x, \quad \text{waarbij} \quad 0\leq x\leq10.$$
Vind alle waarden van $x$ waarvoor de raaklijn van $U(x)$ horizontaal is.
De raaklijn aan een functie is horizontaal in een punt als de afgeleide in dat punt gelijk aan 0 is. We zullen dus alle $x$ moeten vinden waarvoor geldt dat
$$U'(x) = 0.$$
We zullen dus eerst de afgeleide van $U(x)$ moeten bepalen. Volgens de kettingregel (geval 2) geldt dat
$$U'(x) = z'_x(x,y(x)) + z'_y(x,y(x))y'(x).$$
We hebben dus de partiële afgeleiden van $z(x,y)$ in het punt $(x,y(x))$ en de afgeleide van $y(x)$ nodig:
$$
\begin{align}
z'_x(x,y) &= y^3 \cdot 2x = 2xy^3\\
z'_x(x,y(x)) &= 2x \cdot (10-x)^3 =2x(10-x)^3\\[2mm]
z'_y(x,y) &= x^2 \cdot 3y^2 = 3x^2y^2\\
z'_y(x,y(x)) &= 3x^2 \cdot (10-x)^2 = 3x^2(10-x)^2\\[2mm]
y'(x) &= -1.
\end{align}
$$
We vinden nu $U'(x)$ door de uitdrukkingen van $z'_x(x,y(x))$, $z'_y(x,y(x))$ en $y'(x)$ in te vullen:
$$
\begin{align}
U'(x) &= 2x(10-x)^3 + 3x^2(10-x)^2 \cdot (-1) = 2x(10-x)^3 - 3x^2(10-x)^2 = x(10-x)^2(2(10-x)-3x) \\
&= x(10-x)^2(20-2x-3x) = x(10-x)^2(20-5x).
\end{align}
$$
Tenslotte moeten we $U'(x)=0$ oplossen:
$$
\begin{array}{ccccc}
{x(10-x)^2(20-5x) = 0}\\[1mm]
x = 0 &\quad \mbox{ of } \quad& (10-x)^2=0 &\quad \mbox{ of } \quad& 20-5x = 0\\[1mm]
&& 10-x = 0 && 20 = 5x\\[1mm]
&& x = 10 && x = 4
\end{array}
$$
Merk op dat alle drie de oplossingen voldoen aan $0\leq x \leq10$. We hebben dus drie waarden van $x$ waarvoor geldt dat de raaklijn aan $U(x)$ horizontaal is:
$$ x=0 $, $x=4$ en $x=10.$
