Het nut van een consument wordt gegeven door U(x)=z(x,y(x)), waarbij
z(x,y)=x2y3eny(x)=10−x,waarbij0≤x≤10.
Vind alle waarden van x waarvoor de raaklijn van U(x) horizontaal is.
De raaklijn aan een functie is horizontaal in een punt als de afgeleide in dat punt gelijk aan 0 is. We zullen dus alle x moeten vinden waarvoor geldt dat
U′(x)=0.
We zullen dus eerst de afgeleide van U(x) moeten bepalen. Volgens de kettingregel (geval 2) geldt dat
U′(x)=z′x(x,y(x))+z′y(x,y(x))y′(x).
We hebben dus de partiële afgeleiden van z(x,y) in het punt (x,y(x)) en de afgeleide van y(x) nodig:
z′x(x,y)=y3⋅2x=2xy3z′x(x,y(x))=2x⋅(10−x)3=2x(10−x)3z′y(x,y)=x2⋅3y2=3x2y2z′y(x,y(x))=3x2⋅(10−x)2=3x2(10−x)2y′(x)=−1.
We vinden nu U′(x) door de uitdrukkingen van z′x(x,y(x)), z′y(x,y(x)) en y′(x) in te vullen:
U′(x)=2x(10−x)3+3x2(10−x)2⋅(−1)=2x(10−x)3−3x2(10−x)2=x(10−x)2(2(10−x)−3x)=x(10−x)2(20−2x−3x)=x(10−x)2(20−5x).
Tenslotte moeten we U′(x)=0 oplossen:
x(10−x)2(20−5x)=0x=0 of (10−x)2=0 of 20−5x=010−x=020=5xx=10x=4
Merk op dat alle drie de oplossingen voldoen aan 0≤x≤10. We hebben dus drie waarden van x waarvoor geldt dat de raaklijn aan U(x) horizontaal is:
$$ x=0 $, $x=4$ en $x=10.$
