Opgave 2 | Wiskunde op Tilburg University

Gegeven is de functie

$Z(x) = z(x,y(x))$ , waarbij

$z(x,y) = x^2y^2 \quad \text{en} \quad y(x) = e^{4x}.$
Bepaal

$Z'(x)$ .

Antwoord 1 correct

Correct

Antwoord 2 optie

$Z'(x) = 2x(1+x)e^{8x}.$

Antwoord 2 correct

Fout

Antwoord 3 optie

$Z'(x) = 2xe^{4x}(e^{4x}+x).$

Antwoord 3 correct

Fout

Antwoord 4 optie

Deze afgeleide kunnen we niet bepalen, want er is geen functie voor

$x$ gegeven.

Antwoord 4 correct

Fout

Antwoord 1 optie

$Z'(x) = 2x(1+4x)e^{8x}.$

Antwoord 1 feedback

Correct: De partiële afgeleiden van

$z(x,y)$ in het punt

$(x,y(x))$ en de afgeleide van

$y(x)$ zijn:

$\begin{align*} z'_x(x,y) &= y^2 \cdot 2x = 2xy^2\\ z'_x(x,y(x)) &= 2x \cdot \big(e^{4x}\big)^2 = 2xe^{8x} \\[2mm] z'_y(x,y) &= x^2 \cdot 2y = 2x^2y\\ z'_y(x,y(x)) &= 2x^2 \cdot e^{4x} = 2x^2e^{4x}\\[2mm] y'(x) &= e^{4x} \cdot 4 = 4e^{4x}. \end{align*}$
Volgens kettingregel (geval 2) geldt nu:

$\begin{align*} Z'(x) &= 2xe^{8x} + 2x^2e^{4x} \cdot 4e^{4x} = 2xe^{8x} + 8x^2e^{8x} = 2xe^{8x}(1+4x). \end{align*}$

Ga door.

Antwoord 2 feedback

Fout:

$y'(x) \neq e^{4x}$ .

Zie Kettingregel.

Antwoord 3 feedback

Fout: Vergeet de kettingregel: speciaal geval 2 niet toe te passen.

Zie Kettingregel (geval 2), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.

Antwoord 4 feedback

Fout: We hebben hier te maken met speciaal geval 2 van de kettingregel, niet speciaal geval 1.

Zie Kettingregel (geval 1), Kettingregel (geval 2), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.