Gegeven is de functie $Z(x) = z(x,y(x))$, waarbij
$$z(x,y) = e^{x^2 + y} \quad \text{en} \quad y(x) = \ln(x^2 + 5).$$
Bepaal $Z'(x)$.
$$z(x,y) = e^{x^2 + y} \quad \text{en} \quad y(x) = \ln(x^2 + 5).$$
Bepaal $Z'(x)$.
Antwoord 1 correct
Correct
Antwoord 2 optie
$Z'(x) = e^{x^2+\ln(x^2+5)} + \dfrac{2xe^{x^2 + \ln(x^2+5)}}{x^2+5}.$
Antwoord 2 correct
Fout
Antwoord 3 optie
$Z'(x) = (2x+1)e^{x^2+\ln(x^2+5)}.$
Antwoord 3 correct
Fout
Antwoord 4 optie
Deze afgeleide kunnen we niet bepalen, want er is geen functie voor $x$ gegeven.
Antwoord 4 correct
Fout
Antwoord 1 optie
$Z'(x) = 2x(x^2+6)e^{x^2}.$
Antwoord 1 feedback
Correct: De partiële afgeleiden van $z(x,y)$ in het punt $(x,y(x))$ en de afgeleide van $y(x)$ zijn:
$$
\begin{align*}
z'_x(x,y) &= e^{x^2+y}\cdot 2x = 2xe^{x^2+y}\\
z'_x(x,y(x)) &= 2xe^{x^2 + \ln(x^2+5)}=2xe^{x^2}e^{\ln(x^2+5)} = 2x(x^2+5)e^{x^2} \\[2mm]
z'_y(x,y) &= e^{x^2+y}\cdot 1 = e^{x^2+y}\\
z'_y(x,y(x)) &= e^{x^2+\ln(x^2+5)} = e^{x^2}e^{\ln(x^2+5)}= (x^2+5)e^{x^2}\\[2mm]
y'(x) &= \dfrac{1}{x^2+5} \cdot 2x = \dfrac{2x}{x^2+5}.
\end{align*}
$$
Volgens kettingregel (geval 2) geldt nu:
$$
\begin{align*}
Z'(x) &= 2x(x^2+5)e^{x^2} + (x^2+5)e^{x^2} \cdot \dfrac{2x}{x^2+5}= 2x(x^2+5)e^{x^2} + 2xe^{x^2} \\
&= 2xe^{x^2}(x^2+5+1) = 2x(x^2+6)e^{x^2}.
\end{align*}
$$
Ga door.
$$
\begin{align*}
z'_x(x,y) &= e^{x^2+y}\cdot 2x = 2xe^{x^2+y}\\
z'_x(x,y(x)) &= 2xe^{x^2 + \ln(x^2+5)}=2xe^{x^2}e^{\ln(x^2+5)} = 2x(x^2+5)e^{x^2} \\[2mm]
z'_y(x,y) &= e^{x^2+y}\cdot 1 = e^{x^2+y}\\
z'_y(x,y(x)) &= e^{x^2+\ln(x^2+5)} = e^{x^2}e^{\ln(x^2+5)}= (x^2+5)e^{x^2}\\[2mm]
y'(x) &= \dfrac{1}{x^2+5} \cdot 2x = \dfrac{2x}{x^2+5}.
\end{align*}
$$
Volgens kettingregel (geval 2) geldt nu:
$$
\begin{align*}
Z'(x) &= 2x(x^2+5)e^{x^2} + (x^2+5)e^{x^2} \cdot \dfrac{2x}{x^2+5}= 2x(x^2+5)e^{x^2} + 2xe^{x^2} \\
&= 2xe^{x^2}(x^2+5+1) = 2x(x^2+6)e^{x^2}.
\end{align*}
$$
Ga door.
Antwoord 2 feedback
Antwoord 3 feedback
Fout: Vergeet de kettingregel: speciaal geval 2 niet toe te passen.
Zie Kettingregel (geval 2), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Zie Kettingregel (geval 2), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Antwoord 4 feedback
Fout: We hebben hier te maken met speciaal geval 2 van de kettingregel, niet speciaal geval 1.
Zie Kettingregel (geval 1), Kettingregel (geval 2), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Zie Kettingregel (geval 1), Kettingregel (geval 2), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.