Gegeven is de functie $Z(x) = z(x,y(x))$, waarbij
$$z(x,y) = \ln(x^2 + y^3) \quad \text{en} \quad y(x) = 10-x^2.$$
Bepaal $Z'(3)$.
$$z(x,y) = \ln(x^2 + y^3) \quad \text{en} \quad y(x) = 10-x^2.$$
Bepaal $Z'(3)$.
Antwoord 1 correct
Correct
Antwoord 2 optie
$Z'(3) = -\dfrac{1}{2}.$
Antwoord 2 correct
Fout
Antwoord 3 optie
$Z'(3) = \dfrac{9}{10}.$
Antwoord 3 correct
Fout
Antwoord 4 optie
$Z'(3)=-\dfrac{13}{3}.$
Antwoord 4 correct
Fout
Antwoord 1 optie
$Z'(3) = -\dfrac{6}{5}.$
Antwoord 1 feedback
Correct: De partiële afgeleiden van $z(x,y)$ in het punt $(x,y(x))$ en de afgeleide van $y(x)$ zijn:
$$
\begin{align*}
z'_x(x,y) &= \dfrac{1}{x^2 + y^3} \cdot 2x = \dfrac{2x}{x^2 + y^3}\\
z'_x(x,y(x)) &= \dfrac{2x}{x^2 + (10-x^2)^3}\\[2mm]
z'_y(x,y) &=\dfrac{1}{x^2 + y^3} \cdot 3y^2 = \dfrac{3y^2}{x^2 + y^3}\\
z'_y(x,y(x)) &= \dfrac{3(10-x^2)^2}{x^2 + (10-x^2)^3}\\[2mm]
y'(x) &= -2x.
\end{align*}
$$
Volgens kettingregel (geval 2) geldt nu:
$$
\begin{align*}
Z'(x) &= \dfrac{2x}{x^2 + (10-x^2)^3} + \dfrac{3(10-x^2)^2}{x^2 + (10-x^2)^3} \cdot (-2x) = \dfrac{2x}{x^2 + (10-x^2)^3} + \dfrac{-6x(10-x^2)^2}{x^2 + (10-x^2)^3} \\
&= \dfrac{2x -6x(10-x^2)^2}{x^2 + (10-x^2)^3}.
\end{align*}
$$
Tenslotte vullen we $x=3$ in:
$$
\begin{align*}
Z'(3) &= \dfrac{2\cdot 3 -6\cdot 3(10-3^2)^2}{3^2 + (10-3^2)^3} = \dfrac{-12}{10} = -\dfrac{6}{5}.
\end{align*}
$$
Ga door.
$$
\begin{align*}
z'_x(x,y) &= \dfrac{1}{x^2 + y^3} \cdot 2x = \dfrac{2x}{x^2 + y^3}\\
z'_x(x,y(x)) &= \dfrac{2x}{x^2 + (10-x^2)^3}\\[2mm]
z'_y(x,y) &=\dfrac{1}{x^2 + y^3} \cdot 3y^2 = \dfrac{3y^2}{x^2 + y^3}\\
z'_y(x,y(x)) &= \dfrac{3(10-x^2)^2}{x^2 + (10-x^2)^3}\\[2mm]
y'(x) &= -2x.
\end{align*}
$$
Volgens kettingregel (geval 2) geldt nu:
$$
\begin{align*}
Z'(x) &= \dfrac{2x}{x^2 + (10-x^2)^3} + \dfrac{3(10-x^2)^2}{x^2 + (10-x^2)^3} \cdot (-2x) = \dfrac{2x}{x^2 + (10-x^2)^3} + \dfrac{-6x(10-x^2)^2}{x^2 + (10-x^2)^3} \\
&= \dfrac{2x -6x(10-x^2)^2}{x^2 + (10-x^2)^3}.
\end{align*}
$$
Tenslotte vullen we $x=3$ in:
$$
\begin{align*}
Z'(3) &= \dfrac{2\cdot 3 -6\cdot 3(10-3^2)^2}{3^2 + (10-3^2)^3} = \dfrac{-12}{10} = -\dfrac{6}{5}.
\end{align*}
$$
Ga door.
Antwoord 2 feedback
Antwoord 3 feedback
Fout: Vergeet de kettingregel: speciaal geval 2 niet toe te passen.
Zie Kettingregel (geval 2), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Zie Kettingregel (geval 2), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Antwoord 4 feedback
Fout: Er is gegeven dat $x=3$, niet dat $y=3$.
Zie Kettingregel (geval 2), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Zie Kettingregel (geval 2), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.