Regel: De richtingscoëfficiënt (rc) van de raaklijn aan de niveaukromme van de functie z(x,y) in het punt (x,y) van de niveaukromme wordt gegeven door
rc=−z′x(x,y)z′y(x,y).
Bewijs: De algemene vorm van een raaklijn is ax+b, waarbij a de richtingscoëfficiënt is. De waarde van a wordt bepaald door de afgeleide van y(x), waarbij y(x) de functie is waaraan de raaklijn moet raken. In het geval van een niveaukromme is er geen functie y(x) gegeven; deze wordt bepaald door
z(x,y)=k.
Oftewel, er is een functie y(x), zodat geldt dat z(x,y(x))=k. We gaan beide kanten van deze vergelijking differentiëren naar x, waarbij we gebruik maken van Kettingregel: speciaal geval 2:
z(x,(y(x))=kAfgeleide naar~xz′x(x,y(x))+z′y(x,y(x))⋅y′(x)=0Oplossen naar~y′(x)z′y(x,y(x))y′(x)=−z′x(x,y(x))y′(x)=−z′x(x,y(x))z′y(x,y(x)).
De laatste stap kunnen we natuurlijk alleen maar maken als z′y(x,y)≠0. Tenslotte weten we dat y(x)=y, dus
rc=y′(x)=−z′x(x,y)z′y(x,y).
rc=−z′x(x,y)z′y(x,y).
Bewijs: De algemene vorm van een raaklijn is ax+b, waarbij a de richtingscoëfficiënt is. De waarde van a wordt bepaald door de afgeleide van y(x), waarbij y(x) de functie is waaraan de raaklijn moet raken. In het geval van een niveaukromme is er geen functie y(x) gegeven; deze wordt bepaald door
z(x,y)=k.
Oftewel, er is een functie y(x), zodat geldt dat z(x,y(x))=k. We gaan beide kanten van deze vergelijking differentiëren naar x, waarbij we gebruik maken van Kettingregel: speciaal geval 2:
z(x,(y(x))=kAfgeleide naar~xz′x(x,y(x))+z′y(x,y(x))⋅y′(x)=0Oplossen naar~y′(x)z′y(x,y(x))y′(x)=−z′x(x,y(x))y′(x)=−z′x(x,y(x))z′y(x,y(x)).
De laatste stap kunnen we natuurlijk alleen maar maken als z′y(x,y)≠0. Tenslotte weten we dat y(x)=y, dus
rc=y′(x)=−z′x(x,y)z′y(x,y).