Regel: De richtingscoëfficiënt ($\text{rc}$) van de raaklijn aan de niveaukromme van de functie $z(x,y)$ in het punt $(x,y)$ van de niveaukromme wordt gegeven door
$$ \text{rc} = -\dfrac{z'_x(x,y)}{z'_y(x,y)}.$$
Bewijs: De algemene vorm van een raaklijn is $ax + b$, waarbij $a$ de richtingscoëfficiënt is. De waarde van $a$ wordt bepaald door de afgeleide van $y(x)$, waarbij $y(x)$ de functie is waaraan de raaklijn moet raken. In het geval van een niveaukromme is er geen functie $y(x)$ gegeven; deze wordt bepaald door
$$ z(x,y) = k.$$
Oftewel, er is een functie $y(x)$, zodat geldt dat $z(x,y(x)) = k$. We gaan beide kanten van deze vergelijking differentiëren naar $x$, waarbij we gebruik maken van Kettingregel: speciaal geval 2:
$$
\begin{align}
z(x,(y(x)) &= k\\
&\hspace{-1cm}\text{Afgeleide naar~}x\\
z'_x(x,y(x)) + z'_y(x,y(x))\cdot y'(x) &= 0\\
&\hspace{-1cm}\text{Oplossen naar~}y'(x)\\
z'_y(x,y(x))y'(x) &= - z'_x(x,y(x))\\
y'(x) &= -\dfrac{z'_x(x,y(x))}{z'_y(x,y(x))}.
\end{align}
$$
De laatste stap kunnen we natuurlijk alleen maar maken als $z'_y(x,y) \neq 0$. Tenslotte weten we dat $y(x) = y$, dus
$$\text{rc} = y'(x) = -\dfrac{z'_x(x,y)}{z'_y(x,y)}.$$
$$ \text{rc} = -\dfrac{z'_x(x,y)}{z'_y(x,y)}.$$
Bewijs: De algemene vorm van een raaklijn is $ax + b$, waarbij $a$ de richtingscoëfficiënt is. De waarde van $a$ wordt bepaald door de afgeleide van $y(x)$, waarbij $y(x)$ de functie is waaraan de raaklijn moet raken. In het geval van een niveaukromme is er geen functie $y(x)$ gegeven; deze wordt bepaald door
$$ z(x,y) = k.$$
Oftewel, er is een functie $y(x)$, zodat geldt dat $z(x,y(x)) = k$. We gaan beide kanten van deze vergelijking differentiëren naar $x$, waarbij we gebruik maken van Kettingregel: speciaal geval 2:
$$
\begin{align}
z(x,(y(x)) &= k\\
&\hspace{-1cm}\text{Afgeleide naar~}x\\
z'_x(x,y(x)) + z'_y(x,y(x))\cdot y'(x) &= 0\\
&\hspace{-1cm}\text{Oplossen naar~}y'(x)\\
z'_y(x,y(x))y'(x) &= - z'_x(x,y(x))\\
y'(x) &= -\dfrac{z'_x(x,y(x))}{z'_y(x,y(x))}.
\end{align}
$$
De laatste stap kunnen we natuurlijk alleen maar maken als $z'_y(x,y) \neq 0$. Tenslotte weten we dat $y(x) = y$, dus
$$\text{rc} = y'(x) = -\dfrac{z'_x(x,y)}{z'_y(x,y)}.$$