Voorbeeld 2

Gegeven is de functie $$U(x,y) =2x^{\tfrac{1}{3}}y^{\tfrac{2}{3}}.$$ Bepaal de raaklijn aan de indifferentiekromme van $U(x,y)$ in het punt $(x,y)=(1,1)$.

We hebben dit al gedaan in Voorbeeld 4 bij Niveaukrommen; we zullen hier laten zien dat de regel voor de raaklijn aan een niveaukromme hetzelfde resultaat geeft.

$$\begin{align} \dfrac{U'_x(x,y)}{U'_y(x,y)}= \dfrac{\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}}{\frac{4}{3}y^{-\frac{2}{3}}} . \end{align}$$

$$\begin{align} \textrm{rc} &=- \dfrac{\frac{2}{3}\cdot(1)^{-\frac{2}{3}}}{\frac{4}{3}\cdot(1)^{-\frac{2}{3}}}\\ & = - \frac{1}{2}. \end{align}$$

Een raaklijn wordt in het algemeen gegeven door $t(x)=ax+b$. Nu geldt dus $a=-\frac{1}{2}$.

Om $b$ te bepalen kunnen we gebruiken dat de raaklijn door $(x,y)=(1,1)$ gaat. Dus $t(1)=-\frac{1}{2}\cdot 1 + b=1$. Dit levert op $b=\frac{3}{2}$.

De raaklijn wordt dus gegeven door $t(x)=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.