Voorbeeld 2 (film)

Gegeven is de functie $y(x) =\ln(x^2 + 1)$. Bepaal de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van $y(x)$ in het punt $(3, \ln(10))$.

De gevraagde coëfficiënt is de afgeleide van $y(x)$ in $x=3$.  Om $y'(x)$ te bepalen, hebben we de kettingregel nodig en zullen we $y(x)$ dus moeten schrijven als $u(v(x))$. We kiezen hierbij $v(x) = x^2+1$ en $u(v) = \ln(v)$. Nu kunnen we $y'(x)$ en dus $y'(3)$ gaan bepalen:
$$\begin{align} v'(x) &= 2x + 0 = 2x\\ u'(v) &= \dfrac{1}{v}\\ y'(x) &= u'\big(v(x)\big)\cdot v'(x) = \dfrac{1}{v(x)} \cdot 2x = \dfrac{2x}{x^2+1}\\ y'(3) &= \dfrac{2\cdot 3}{3^2+1} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}. \end{align}$$
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van $y(x)$ in het punt $(3,\ln(10))$ is dus $y'(3)=\tfrac{3}{5}$.