Beschouw de functie f(x)=−x2+3x−2. We bepalen de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van f(x), de x-as en de lijnen x=0 en x=2.
Allereerst onderzoeken we op welke (deel)intervallen de functie f(x) niet-negatief, danwel niet-positief is. Daartoe bepalen we eerst de nulpunten van f(x).
f(x)=0⇔−x2+3x−2=0⇔−(x−1)(x−2)=0⇒x=1 of x=2.
Op het interval [0,1] geldt f(x)≤0 en op het interval [1,2] geldt f(x)≥0, zie onderstaande grafiek.
De totale oppervlakte O(f,a,2) van het gearceerde gebied is gelijk aan O1+O2. Volgens de stelling over integralen en oppervlakte kunnen we deze oppervlakte uitdrukken in termen van integralen, dat is
O1+O2=−∫10(−x2+3x−2)dx+∫21(−x2+3x−2)dx.
Een primitieve van f(x) is de functie F(x)=−13x3+32x2−2x. We kunnen nu de gewenste integralen berekenen.
∫10(−x2+3x−2)dx=[−13x3+32x2−2x]x=1x=0=(−13+32−2)−0=−56∫21(−x2+3x−2)dx=[−13x3+32x2−2x]x=2x=1=(−83+6−4)−(−56)=16
Voor de oppervlakte van het gearceerde gebied geldt dus O(f,0,2)=O1+O2=56+16=1.
Allereerst onderzoeken we op welke (deel)intervallen de functie f(x) niet-negatief, danwel niet-positief is. Daartoe bepalen we eerst de nulpunten van f(x).
f(x)=0⇔−x2+3x−2=0⇔−(x−1)(x−2)=0⇒x=1 of x=2.
Op het interval [0,1] geldt f(x)≤0 en op het interval [1,2] geldt f(x)≥0, zie onderstaande grafiek.
De totale oppervlakte O(f,a,2) van het gearceerde gebied is gelijk aan O1+O2. Volgens de stelling over integralen en oppervlakte kunnen we deze oppervlakte uitdrukken in termen van integralen, dat is
O1+O2=−∫10(−x2+3x−2)dx+∫21(−x2+3x−2)dx.
Een primitieve van f(x) is de functie F(x)=−13x3+32x2−2x. We kunnen nu de gewenste integralen berekenen.
∫10(−x2+3x−2)dx=[−13x3+32x2−2x]x=1x=0=(−13+32−2)−0=−56∫21(−x2+3x−2)dx=[−13x3+32x2−2x]x=2x=1=(−83+6−4)−(−56)=16
Voor de oppervlakte van het gearceerde gebied geldt dus O(f,0,2)=O1+O2=56+16=1.