Beschouw de functie $f(x)=-x^2+3x-2$. We bepalen de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van $f(x)$, de $x$-as en de lijnen $x=0$ en $x=2$.
Allereerst onderzoeken we op welke (deel)intervallen de functie $f(x)$ niet-negatief, danwel niet-positief is. Daartoe bepalen we eerst de nulpunten van $f(x)$.
$$f(x)=0\Leftrightarrow -x^2+3x-2=0\Leftrightarrow -(x-1)(x-2)=0\Rightarrow x=1\mbox{ of } x=2.$$
Op het interval $[0,1]$ geldt $f(x)\leq 0$ en op het interval $[1,2]$ geldt $f(x)\geq 0$, zie onderstaande grafiek.
De totale oppervlakte $O(f,a,2)$ van het gearceerde gebied is gelijk aan $O_1+O_2$. Volgens de stelling over integralen en oppervlakte kunnen we deze oppervlakte uitdrukken in termen van integralen, dat is
$$O_1+O_2=-\int_0^1 (-x^2+3x-2)dx+\int_1^2 (-x^2+3x-2)dx.$$
Een primitieve van $f(x)$ is de functie $F(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-2x$. We kunnen nu de gewenste integralen berekenen.
$$\begin{align}
\int_0^1 (-x^2+3x-2)dx&=[-\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-2x]_{x=0}^{x=1}=(-\frac{1}{3}+\frac{3}{2}-2)-0=-\frac{5}{6}\\
\int_1^2 (-x^2+3x-2)dx&=[-\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-2x]_{x=1}^{x=2}=(-\frac{8}{3}+6-4)-(-\frac{5}{6})=\frac{1}{6}
\end{align}$$
Voor de oppervlakte van het gearceerde gebied geldt dus $O(f,0,2)=O_1+O_2=\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=1$.
Allereerst onderzoeken we op welke (deel)intervallen de functie $f(x)$ niet-negatief, danwel niet-positief is. Daartoe bepalen we eerst de nulpunten van $f(x)$.
$$f(x)=0\Leftrightarrow -x^2+3x-2=0\Leftrightarrow -(x-1)(x-2)=0\Rightarrow x=1\mbox{ of } x=2.$$
Op het interval $[0,1]$ geldt $f(x)\leq 0$ en op het interval $[1,2]$ geldt $f(x)\geq 0$, zie onderstaande grafiek.
De totale oppervlakte $O(f,a,2)$ van het gearceerde gebied is gelijk aan $O_1+O_2$. Volgens de stelling over integralen en oppervlakte kunnen we deze oppervlakte uitdrukken in termen van integralen, dat is
$$O_1+O_2=-\int_0^1 (-x^2+3x-2)dx+\int_1^2 (-x^2+3x-2)dx.$$
Een primitieve van $f(x)$ is de functie $F(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-2x$. We kunnen nu de gewenste integralen berekenen.
$$\begin{align}
\int_0^1 (-x^2+3x-2)dx&=[-\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-2x]_{x=0}^{x=1}=(-\frac{1}{3}+\frac{3}{2}-2)-0=-\frac{5}{6}\\
\int_1^2 (-x^2+3x-2)dx&=[-\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-2x]_{x=1}^{x=2}=(-\frac{8}{3}+6-4)-(-\frac{5}{6})=\frac{1}{6}
\end{align}$$
Voor de oppervlakte van het gearceerde gebied geldt dus $O(f,0,2)=O_1+O_2=\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=1$.