Extra uitleg: benadering integraal

We hebben gezien dat we de oppervlakte $O(f,a,b)$ van het gebied onder de grafiek van een niet-lineaire functie $f(x)$ kunnen schatten door de oppervlakten van best-passende staafjes onder de grafiek op te tellen, ofwel $O=O_1+O_2+\ldots O_n$. Hoe meer staafjes we gebruiken (dus hoe groter $n$), hoe beter de schatting voor de oppervlakte. We zullen nu de relatie van deze schatting met integralen gaan bekijken.

Beschouw het eerder gebruikte voorbeeld met drie staafjes.



Het interval $[a,b]$ is in dit geval opgedeeld in drie (even grote) deelintervallen $[a,x_1]$, $[x_1,x_2]$ en $[x_2,b]$. De oppervlakte van het eerste staafje kunnen we als volgt berekenen: $O_1=f(a)\cdot (x_1-a)$. Op een zelfde manier volgen de oppervlakten van het tweede staafje $O_2=f(x_1)\cdot (x_2-x_1)$ en het derde staafje $O_3=f(x_2)\cdot (b-x_2)$. Conclusie:
$$O\approx f(a)(x_1-a)+f(x_1)(x_2-x_1)+f(x_2)(b-x_2)\quad(1).$$

Afgeleide
Uit een eerder hoofdstuk weten we dat voor de afgeleide $y'(x)$ van een functie $y(x)$ geldt dat
$$\dfrac{y(x+\Delta x) - y(x)}{\Delta x} \approx y'(x).$$
Vervangen we in deze uitdrukking de functie $y(x)$ door een primitieve functie $F(x)$ dan geeft dit
$$\dfrac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x} \approx F'(x)=f(x),$$
hetgeen we kunnen herschrijven tot
$$F(x+\Delta x)-F(x)\approx f(x)\Delta x\quad (2).$$

Relatie met integraal
Bekijk vergelijking (2). Nemen we in deze uitdrukking $x=a$ en $\Delta x=x_1-a$, zodat $x+\Delta x=x_1$, dan geldt
$$F(x_1)-F(a)\approx f(a)(x_1-a)=O_1.$$
Nemen we $x=x_1$ en $\Delta x=x_2-x_1$, zodat $x+\Delta x=x_2$, dan geldt
$$F(x_2)-F(x_1)\approx f(x_1)(x_2-x_1)=O_2.$$
Nemen we $x=x_2$ en $\Delta x=b-x_2$, zodat $x+\Delta x=b$, dan geldt
$$F(b)-F(x_2)\approx f(x_2)(b-x_2)=O_3.$$
We kunnen vergelijking (1) dus herschrijven als
$$O\approx O_1+O_2+O_3\approx (F(x_1)-F(a))+(F(x_2)-F(x_1))+(F(b)-F(x_2))=F(b)-F(a)\quad (3).$$
Omdat $F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)dx$ hebben we dus een schatting voor de integraal gevonden. Merk op dat deze schatting beter wordt wanneer het aantal staafjes groter wordt. De $\approx$-tekens mogen dan vervangen worden door $=$-tekens. Dit geldt voor zowel vergelijking (2) als vergelijking (3).

Conclusie: de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van de functie $f(x)$, de $x$-as en de lijnen $x=a$ en $x=b$ is gelijk aan de integraal $\int_a^b f(x)dx$.