Opgave 3

Correct: Merk op dat we de afgeleide van $f(t)$ in het punt $t=-2$ moeten bepalen; er geldt dus dat
$x(-2) = 2\cdot(-2)+1=-3$ en $y(-2) = (-2)^2 + 5 = 9$. De partiële afgeleiden van $z(x,y)$ in het punt $(x(t),y(t))=(-3,9)$, de afgeleide van $x(t)$ in punt $t=-2$ en de afgeleide van $y(t)$  in het punt $t=-2$ zijn:
$$\begin{align*} z'_x(x,y) &= \dfrac{1}{x^4+y^3} \cdot 4x^3 = \dfrac{4x^3}{x^4+y^3}\\ z'_x(-3,9) &= \dfrac{4(-3)^3}{(-3)^4+9^3} = \dfrac{-108}{810} = -\dfrac{2}{15}\\[2mm] z'_y(x,y) &= \dfrac{1}{x^4+y^3} \cdot 3y^2 = \dfrac{3y^2}{x^4+y^3}\\ z'_y(-3,9) &= \dfrac{3\cdot 9^2}{(-3)^4+9^3} = \dfrac{243}{810} = \dfrac{3}{10}\\[2mm] x'(t) &= 2\\ x'(-2) &= 2\\[1mm] y'(t) &= 2t\\ y'(-2) & = 2\cdot (-2) = -4. \end{align*}$$
Volgens kettingregel (geval 1) geldt nu:
$$f'(-2) = z'_x(-3,9)x'(-2) + z'_y(-3,9)y'(-2) = -\dfrac{2}{15}\cdot 2 + \dfrac{3}{10} \cdot (-4) = \dfrac{-4}{15} - \dfrac{12}{10} = -\dfrac{22}{15}.$$

Ga door.

Fout: $z'_x(x,y) \neq \dfrac{1}{x^4+y^3}$ en $z'_y(x,y) \neq \dfrac{1}{x^4+y^3}$.

Zie Kettingregel.

Fout: Vergeet de kettingregel: speciaal geval 1 niet toe te passen.

Zie Kettingregel (geval 1), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.

Fout: $x \neq-2$ en $y\neq-2$.

Probeer de opgave nogmaals.