Gegeven is de functie $Z(t) = z(x(t),y(t))$, waarbij
$$z(x,y) = e^{2x + 3y}, \quad x(t) = 5t^2 \quad \text{en} \quad y(t) = \ln(2t).$$
Bepaal $Z'(t)$.
$$z(x,y) = e^{2x + 3y}, \quad x(t) = 5t^2 \quad \text{en} \quad y(t) = \ln(2t).$$
Bepaal $Z'(t)$.
Antwoord 1 correct
Correct
Antwoord 2 optie
$Z'(t) = e^{10t^2 + 3\ln(2t)}(10t + t^{-1}).$
Antwoord 2 correct
Fout
Antwoord 3 optie
$Z'(t) = 5e^{10t^2 + 3\ln(2t)}.$
Antwoord 3 correct
Fout
Antwoord 4 optie
$Z'(t) = e^{10t^2 + 3\ln(2t)}(2+ 3t^{-1}).$
Antwoord 4 correct
Fout
Antwoord 1 optie
$Z'(t) = e^{10t^2 + 3\ln(2t)}(20t + 3t^{-1}).$
Antwoord 1 feedback
Correct: De partiële afgeleiden van $z(x,y)$ in het punt $(x(t),y(t))$, de afgeleide van $x(t)$ en de afgeleide van $y(t)$ zijn:
$$
\begin{align*}
z'_x(x,y) &= e^{2x+3y}\cdot 2 = 2e^{2x+3y}\\
z'_x(x(t),y(t)) &= 2e^{2\cdot5t^2+3\cdot\ln(2t)} = 2e^{10t^2 + 3\ln(2t)}\\[2mm]
z'_y(x,y) &= e^{2x+3y}\cdot 3 = 3e^{2x+3y}\\
z'_y(x(t),y(t)) &= 3e^{2\cdot5t^2+3\cdot\ln(2t)} = 3e^{10t^2 + 3\ln(2t)}\\[2mm]
x'(t) &= 5 \cdot 2t = 10t\\[1mm]
y'(t) &= \tfrac{1}{2t} \cdot 2 = \tfrac{2}{2t} = \tfrac{1}{t}.
\end{align*}
$$
Volgens kettingregel (geval 1) geldt nu:
$$
Z'(t) = 2e^{10t^2 + 3\ln(2t)} \cdot 10t + 3e^{10t^2 + 3\ln(2t)} \cdot \tfrac{1}{t} = e^{10t^2 + 3\ln(2t)}(20t + 3t^{-1}).
$$
Ga door.
$$
\begin{align*}
z'_x(x,y) &= e^{2x+3y}\cdot 2 = 2e^{2x+3y}\\
z'_x(x(t),y(t)) &= 2e^{2\cdot5t^2+3\cdot\ln(2t)} = 2e^{10t^2 + 3\ln(2t)}\\[2mm]
z'_y(x,y) &= e^{2x+3y}\cdot 3 = 3e^{2x+3y}\\
z'_y(x(t),y(t)) &= 3e^{2\cdot5t^2+3\cdot\ln(2t)} = 3e^{10t^2 + 3\ln(2t)}\\[2mm]
x'(t) &= 5 \cdot 2t = 10t\\[1mm]
y'(t) &= \tfrac{1}{2t} \cdot 2 = \tfrac{2}{2t} = \tfrac{1}{t}.
\end{align*}
$$
Volgens kettingregel (geval 1) geldt nu:
$$
Z'(t) = 2e^{10t^2 + 3\ln(2t)} \cdot 10t + 3e^{10t^2 + 3\ln(2t)} \cdot \tfrac{1}{t} = e^{10t^2 + 3\ln(2t)}(20t + 3t^{-1}).
$$
Ga door.
Antwoord 2 feedback
Antwoord 3 feedback
Fout: Vergeet de kettingregel: speciaal geval 1 niet toe te passen.
Zie Kettingregel (geval 1), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Zie Kettingregel (geval 1), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Antwoord 4 feedback
Fout: We hebben hier te maken met speciaal geval 1 van de kettingregel, niet speciaal geval 2.
Zie Kettingregel (geval 1), Kettingregel (geval 2), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Zie Kettingregel (geval 1), Kettingregel (geval 2), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.