Opgave 1 | Wiskunde op Tilburg University

Gegeven is de functie

$Z(t) = z(x(t),y(t))$ , waarbij

$z(x,y) = e^{2x + 3y}, \quad x(t) = 5t^2 \quad \text{en} \quad y(t) = \ln(2t).$
Bepaal

$Z'(t)$ .

Antwoord 1 correct

Correct

Antwoord 2 optie

$Z'(t) = e^{10t^2 + 3\ln(2t)}(10t + t^{-1}).$

Antwoord 2 correct

Fout

Antwoord 3 optie

$Z'(t) = 5e^{10t^2 + 3\ln(2t)}.$

Antwoord 3 correct

Fout

Antwoord 4 optie

$Z'(t) = e^{10t^2 + 3\ln(2t)}(2+ 3t^{-1}).$

Antwoord 4 correct

Fout

Antwoord 1 optie

$Z'(t) = e^{10t^2 + 3\ln(2t)}(20t + 3t^{-1}).$

Antwoord 1 feedback

Correct: De partiële afgeleiden van

$z(x,y)$ in het punt

$(x(t),y(t))$ , de afgeleide van

$x(t)$ en de afgeleide van

$y(t)$ zijn:

$\begin{align*} z'_x(x,y) &= e^{2x+3y}\cdot 2 = 2e^{2x+3y}\\ z'_x(x(t),y(t)) &= 2e^{2\cdot5t^2+3\cdot\ln(2t)} = 2e^{10t^2 + 3\ln(2t)}\\[2mm] z'_y(x,y) &= e^{2x+3y}\cdot 3 = 3e^{2x+3y}\\ z'_y(x(t),y(t)) &= 3e^{2\cdot5t^2+3\cdot\ln(2t)} = 3e^{10t^2 + 3\ln(2t)}\\[2mm] x'(t) &= 5 \cdot 2t = 10t\\[1mm] y'(t) &= \tfrac{1}{2t} \cdot 2 = \tfrac{2}{2t} = \tfrac{1}{t}. \end{align*}$
Volgens kettingregel (geval 1) geldt nu:

$Z'(t) = 2e^{10t^2 + 3\ln(2t)} \cdot 10t + 3e^{10t^2 + 3\ln(2t)} \cdot \tfrac{1}{t} = e^{10t^2 + 3\ln(2t)}(20t + 3t^{-1}).$

Ga door.

Antwoord 2 feedback

Fout:

$z'_x(x,y) \neq e^{2x+3y}$ en

$z'_y(x,y) \neq e^{2x+3y}$ .

Zie Kettingregel.

Antwoord 3 feedback

Fout: Vergeet de kettingregel: speciaal geval 1 niet toe te passen.

Zie Kettingregel (geval 1), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.

Antwoord 4 feedback

Fout: We hebben hier te maken met speciaal geval 1 van de kettingregel, niet speciaal geval 2.

Zie Kettingregel (geval 1), Kettingregel (geval 2), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.