Voorbeeld 2 (film)

Gegeven is de functie $Z(t) = z(x(t),y(t))$, waarbij
$$z(x,y) = 2xy^2, \quad x(t) = \ln(t) \quad \text{en} \quad y(t) = 3t^2.$$
Bepaal $Z'(t)$.

Volgens de kettingregel (geval 1) geldt dat
$$Z'(t) = z'_x(x(t),y(t))x'(t) + z'_y(x(t),y(t))y'(t).$$
We hebben dus de partiële afgeleiden van $z(x,y)$ in het punt $(x(t),y(t))$, de afgeleide van $x(t)$ en de afgeleide van $y(t)$ nodig:
$$\begin{align} z'_x(x,y) &= 2y^2 \cdot 1 = 2y^2\\ z'_x(x(t),y(t)) &= 2\left(3t^2\right)^2 = 2\cdot 9t^4 = 18t^4\\[2mm] z'_y(x,y) &= 2x \cdot 2y = 4xy\\ z'_y(x(t),y(t)) &= 4 \cdot \ln(t) \cdot 3t^2 = 12t^2\ln(t)\\[2mm] x'(t) &= \tfrac{1}{t}\\[1mm] y'(t) &= 3 \cdot 2t = 6t. \end{align}$$
We vinden nu $Z'(t)$ door de uitdrukkingen van $z'_x(x(t),y(t))$, $x'(t)$, $z'_y(x(t),y(t))$ en $y'(t)$ in te vullen:
$$Z'(t) = 18t^4 \cdot \tfrac{1}{t} + 12t^2\ln(t) \cdot 6t = 18t^3 + 72t^3\ln(t).$$