Gegeven is de functie $Z(t) = z(x(t),y(t))$, waarbij
$$z(x,y) = 3x^{\tfrac{1}{3}}y^{\tfrac{2}{3}}, \quad x(t) = 8t^3 \quad \text{en} \quad y(t) = 64t^6.$$
Bepaal $Z'(t)$.
Volgens de kettingregel (geval 1) geldt dat
$$Z'(t) = z'_x(x(t),y(t))x'(t) + z'_y(x(t),y(t))y'(t).$$
We hebben dus de partiële afgeleiden van $z(x,y)$ in het punt $(x(t),y(t))$, de afgeleide van $x(t)$ en de afgeleide van $y(t)$ nodig:
$$
\begin{align}
z'_x(x,y) &= 3y^{\tfrac{2}{3}} \cdot \tfrac{1}{3}x^{\tfrac{1}{3}-1} = x^{-\tfrac{2}{3}}y^{\tfrac{2}{3}} = \left(\tfrac{y}{x}\right)^{\tfrac{2}{3}}\\
z'_x(x(t),y(t)) &= \left(\tfrac{64t^6}{8t^3}\right)^{\tfrac{2}{3}} = \left(8t^3\right)^{\tfrac{2}{3}} = 4t^2\\[2mm]
z'_y(x,y) &= 3x^{\tfrac{1}{3}} \cdot \tfrac{2}{3}y^{\tfrac{2}{3}-1} = 2x^{\tfrac{1}{3}}y^{-\tfrac{1}{3}} = 2\left(\tfrac{x}{y}\right)^{\tfrac{1}{3}}\\
z'_y(x(t),y(t)) &= 2\left(\tfrac{8t^3}{64t^6}\right)^{\tfrac{1}{3}} = 2\left(\tfrac{1}{8t^3}\right)^{\tfrac{1}{3}} = \tfrac{2}{2t} = \tfrac{1}{t}\\[3mm]
x'(t) &= 8 \cdot 3t^2 = 24t^2\\[1mm]
y'(t) &= 64 \cdot 6t^5 = 384t^5.
\end{align}
$$
We vinden nu $Z'(t)$ door de uitdrukkingen van $z'_x(x(t),y(t))$, $x'(t)$, $z'_y(x(t),y(t))$ en $y'(t)$ in te vullen:
$$
Z'(t) = 4t^2 \cdot 24t^2 + \tfrac{1}{t} \cdot 384t^5 = 96t^4 + 384t^4 = 480t^4.
$$
$$z(x,y) = 3x^{\tfrac{1}{3}}y^{\tfrac{2}{3}}, \quad x(t) = 8t^3 \quad \text{en} \quad y(t) = 64t^6.$$
Bepaal $Z'(t)$.
Volgens de kettingregel (geval 1) geldt dat
$$Z'(t) = z'_x(x(t),y(t))x'(t) + z'_y(x(t),y(t))y'(t).$$
We hebben dus de partiële afgeleiden van $z(x,y)$ in het punt $(x(t),y(t))$, de afgeleide van $x(t)$ en de afgeleide van $y(t)$ nodig:
$$
\begin{align}
z'_x(x,y) &= 3y^{\tfrac{2}{3}} \cdot \tfrac{1}{3}x^{\tfrac{1}{3}-1} = x^{-\tfrac{2}{3}}y^{\tfrac{2}{3}} = \left(\tfrac{y}{x}\right)^{\tfrac{2}{3}}\\
z'_x(x(t),y(t)) &= \left(\tfrac{64t^6}{8t^3}\right)^{\tfrac{2}{3}} = \left(8t^3\right)^{\tfrac{2}{3}} = 4t^2\\[2mm]
z'_y(x,y) &= 3x^{\tfrac{1}{3}} \cdot \tfrac{2}{3}y^{\tfrac{2}{3}-1} = 2x^{\tfrac{1}{3}}y^{-\tfrac{1}{3}} = 2\left(\tfrac{x}{y}\right)^{\tfrac{1}{3}}\\
z'_y(x(t),y(t)) &= 2\left(\tfrac{8t^3}{64t^6}\right)^{\tfrac{1}{3}} = 2\left(\tfrac{1}{8t^3}\right)^{\tfrac{1}{3}} = \tfrac{2}{2t} = \tfrac{1}{t}\\[3mm]
x'(t) &= 8 \cdot 3t^2 = 24t^2\\[1mm]
y'(t) &= 64 \cdot 6t^5 = 384t^5.
\end{align}
$$
We vinden nu $Z'(t)$ door de uitdrukkingen van $z'_x(x(t),y(t))$, $x'(t)$, $z'_y(x(t),y(t))$ en $y'(t)$ in te vullen:
$$
Z'(t) = 4t^2 \cdot 24t^2 + \tfrac{1}{t} \cdot 384t^5 = 96t^4 + 384t^4 = 480t^4.
$$