Gegeven is de functie $f(t) = z(x(t),y(t))$, waarbij
$$z(x,y) = x^5y^3, \quad x(t) = e^{t^2} \quad \text{en} \quad y(t) =e^{3t}.$$
Vind alle waarden van $t$ waarvoor geldt dat de raaklijn aan $f(t)$ horizontaal is.
Voor geen enkele waarde.
$t=-\dfrac{9}{5}$, $t=-\dfrac{9}{10}$ en $t=0.$
$t=\dfrac{-9-\sqrt{61}}{10}$, $t=-\dfrac{9}{10}$ en $\dfrac{-9+\sqrt{61}}{10}.$
$t=-\dfrac{9}{10}.$
Correct: Merk op dat we alle $t$ moeten vinden waarvoor geldt $f'(t)=0$. De partiële afgeleiden van $z(x,y)$ in het punt $(x(t),y(t)),$ de afgeleide van $x(t)$ en de afgeleide van $y(t)$ zijn:
$$
\begin{align*}
z'_x(x,y) &= y^3 \cdot 5x^4 = 5x^4y^3\\
z'_x(x(t),y(t)) &= 5\big(e^{t^2}\big)^4 \big(e^{3t}\big)^3 = 5e^{4t^2}e^{9t} = 5e^{4t^2 + 9t}\\[2mm]
z'_y(x,y) &= x^5 \cdot 3y^2 = 3x^5y^2\\
z'_y(x(t),y(t)) &= 3\big(e^{t^2}\big)^5 \big(e^{3t}\big)^2 = 3e^{5t^2}e^{6t} = 3e^{5t^2 + 6t}\\[2mm]
x'(t) &= e^{t^2} \cdot 2t = 2te^{t^2}\\[1mm]
y'(t) &= e^{3t} \cdot 3 = 3e^{3t}.
\end{align*}
$$
Volgens kettingregel (geval 1) geldt nu:
$$
f'(t) = 5e^{4t^2 + 9t} \cdot 2te^{t^2} + 3e^{5t^2 + 6t} \cdot 3e^{3t} = 10te^{5t^2+9t} + 9e^{5t^2 + 9t} = (10t+9)e^{5t^2+9t}.
$$
Tenslotte moeten we $f'(t) =0$ oplossen:
$$
\begin{array}{ccc}
{(10t+9)e^{5t^2+9t} = 0}\\
10t + 9 = 0 &\quad\mbox{ of } \quad& e^{5t^2 + 9t} = 0\\
10t =-9 && \text{kan niet, want}\\
t = -\dfrac{9}{10} && e^u>0 \text{~voor alle~} u
\end{array}
$$
Ga door.
Fout: $x'(t) \neq e^{t^2}$ of je vergeet kettingregel: speciaal geval 1 toe te passen.
Zie Kettingregel of Kettingregel (geval 1), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Fout: Er geldt niet dat $e^u=0$ als $u=0$.
Probeer de opgave nogmaals.
Fout: Er geldt niet dat $e^u=0$ als $u=1$.
Probeer de opgave nogmaals.