Opgave 2

Correct: De partiële afgeleiden van $z(x,y)$ in het punt $(x(t),y(t))$, de afgeleide van $x(t)$ en de afgeleide van $y(t)$ zijn:
$$\begin{align*} z'_x(x,y) &= \tfrac{1}{y} \cdot 1 = \tfrac{1}{y}\\ z'_x(x(t),y(t)) &= \tfrac{1}{\ln(t^2+2)}\\[2mm] z'_y(x,y) &= x \cdot (-1) \cdot y^{-2} = \tfrac{-x}{y^2}\\ z'_y(x(t),y(t)) &= \tfrac{-e^{2t}}{\big(\ln(t^2+2)\big)^2}\\[2mm] x'(t) &= e^{2t} \cdot 2 = 2e^{2t}\\[1mm] y'(t) &= \tfrac{1}{t^2+2} \cdot 2t = \tfrac{2t}{t^2+2}. \end{align*}$$
Volgens kettingregel (geval 1) geldt nu:
$$Z'(t) = \tfrac{1}{\ln(t^2+2)} \cdot 2e^{2t}+ \tfrac{-e^{2t}}{\big(\ln(t^2+2)\big)^2} \cdot \tfrac{2t}{t^2+2} = \tfrac{2e^{2t}}{\ln(t^2+2)} + \tfrac{-2te^{2t}}{(t^2+2)\big(\ln(t^2+2)\big)^2}.$$

Ga door.

Fout: $x'(t) \neq e^{2t}$ en $y'(t) \neq \tfrac{1}{t^2 + 2}$.

Zie Kettingregel.

Fout: Vergeet de kettingregel: speciaal geval 1 niet toe te passen.

Zie Kettingregel (geval 1), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.

Fout: We hebben hier te maken met speciaal geval 1 van de kettingregel, niet speciaal geval 2.

Zie Kettingregel (geval 1), Kettingregel (geval 2), Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.