Partiële afgeleiden

Introductie: Als we te maken hebben met een functie van één variabele $y(x)$, dan heeft die een afgeleide $y'(x)$. Ook functies van twee variabelen $z(x,y)$ hebben afgeleiden, waarbij we wel moeten specificeren naar welke variabele we de functie differentiëren. De andere variabele behandelen we dan als een constante.

Definitie: De afgeleide van de functie $z(x,y)$ naar $x$ bij vaste $y$ wordt de partiële afgeleide van $z(x,y)$ naar $x$ genoemd en genoteerd als
$$z'_x(x,y).$$
De afgeleide van de functie $z(x,y)$ naar $y$ bij vaste $x$ wordt de partiële afgeleide van $z(x,y)$ naar $y$ genoemd en genoteerd als
$$z'_y(x,y).$$

Opmerking 1: Andere notaties voor de partiële afgeleide van $z(x,y)$ naar $x$ en naar $y$ zijn
$$\dfrac{\partial}{\partial x} z(x,y), \quad \dfrac{\partial z}{\partial x}(x,y), \quad \dfrac{\partial}{\partial y} z(x,y) \quad \text{en} \quad \dfrac{\partial z}{\partial y}(x,y).$$

Opmerking 2: In de (economische) literatuur worden de variabelen soms weggelaten en worden de partiële afgeleiden van $z(x,y)$ weergegeven door $z'_x$ en $z'_y$.

Opmerking 3: De differentieerregels en de kettingregel, zoals je die geleerd hebt bij functies voor één variabele, gelden ook bij het bepalen van afgeleiden van functies van twee of meer variabelen.