Gegeven is de functie
$$z(x,y) = 2x^2(x+2)^2 - 5xy^2 - 2(2y+3)^3.$$
Bepaal de partiële afgeleiden naar $x$ en naar $y$.
De functie $z(x,y)$ is de som van de drie functies $u(x,y)$, $v(x,y)$ en $w(x,y)$, waarbij
$$
u(x,y) = 2x^2(x+2)^2, \qquad v(x,y) = - 5xy^2 \qquad \text{en} \qquad w(x,y) = - 2(2y+3)^3.
$$
De partiële afgeleiden van $z(x,y)$ zijn dan, volgens de somregel, de som van de partiële afgeleiden van $u(x,y)$, $v(x,y)$ en $w(x,y)$.
Laten we beginnen met het bepalen van de partiële afgeleide van $z(x,y)$ naar $x$. Hiervoor hebben we dus $u'_x(x,y)$, $v'_x(x,y)$ en $w'_x(x,y)$ nodig. De functie $u(x,y)$ kunnen we schrijven als het product van twee functies $f(x,y)$ en $g(x,y)$:
$$u(x,y) = f(x,y)g(x,y) \qquad \text{met} \qquad f(x,y) = 2x^2 \qquad \text{en} \qquad g(x,y)=(x+2)^2.$$
We kunnen nu de productregel gebruiken om de partiële afgeleide van $u(x,y)$ naar $x$ te bepalen:
$$
\begin{align}
f'_x(x,y) &= 2\cdot2x = 4x\\
g'_x(x,y) &= 2(x+2)^{2-1} \cdot 1 = 2(x+2)\\[1mm]
u'_x(x,y) &= f'_x(x,y)g(x,y) + f(x,y)g'_x(x,y) = 4x\cdot (x+2)^2 + 2x^2\cdot2(x+2) = 4x(x+2)^2 +4x^2(x+2) .
\end{align}
$$
Voor het bepalen van $g'_x(x,y)$ hebben we gebruik gemaakt van de kettingregel voor machtfuncties. Vervolgens bepalen we $v'_x(x,y)$. We kunnen $v(x,y)$ schrijven als
$$v(x,y) = c\cdot f(x,y) \qquad \text{met} \qquad c = -5y^2 \qquad \text{en} \qquad f(x,y)=x.$$
Merk op dat we de partiële afgeleide naar $x$ bepalen. Dat betekent dat we $y$ als een constante kunnen behandelen, vandaar dat $y^2$ in de constante $c$ staat en niet als aparte functie genoemd is. Volgens de scalairproductregel geldt nu dat
$$v'_x(x,y) = c \cdot f'_x(x,y) = -5y^2 \cdot 1 = -5y^2.$$
Tenslotte bepalen we $w'_x(x,y)$. Merk op $w(x,y)$ niet afhangt van $x$, dus dat we deze functie als een constante kunnen behandelen als we de partiële afgeleide naar $x$ bepalen. De afgeleide van een constante is nul, dus
$$w'_x(x,y) = 0.$$
Nu kunnen we de partiële afgeleide van $z(x,y)$ naar $x$ bepalen:
$$z'_x(x,y) = u'_x(x,y) + v'_x(x,y) + w'_x(x,y) = 4x(x+2)^2 +4x^2(x+2) -5y^2 + 0 = 4x(x+2)^2 +4x^2(x+2) -5y^2.$$
Op eenzelfde manier bepalen we de partiële afgeleide van $z(x,y)$ naar $y$. We beginnen opnieuw met $u(x,y)$, waarbij $u(x,y)$ niet afhangt van $y$. We kunnen deze functie dus als een constante behandelen als we de partiële afgeleide naar $y$ bepalen. De afgeleide van een constante is nul, dus
$$u'_y(x,y) = 0.$$
Vervolgens bepalen we $v'_y(x,y)$. We kunnen $v(x,y)$ schrijven als
$$v(x,y) = c\cdot f(x,y) \qquad \text{met}\qquad c = -5x \qquad \text{en} \qquad f(x,y)=y^2.$$
Merk op dat we de partiële afgeleide naar $y$ bepalen. Dat betekent dat we $x$ als een constante kunnen behandelen, vandaar dat $x$ in de constante $c$ staat en niet als aparte functie genoemd is. Volgens de scalairproductregel geldt nu dat
$$v'_y(x,y) = c \cdot f'_y(x,y) = -5x \cdot 2y = -10xy.$$
Tenslotte bepalen we $w'_y(x,y)$. We kunnen $w(x,y)$ schrijven als
$$w(x,y) = -2 \big(f(x,y)\big)^k \qquad \text{met}\qquad k = 3 \qquad \text{en} \qquad f(x,y)=2y+3.$$
Volgens de scalairproductregel en de kettingregel voor machtfuncties geldt nu dat
$$w'_y(x,y) = -2 \cdot k\big(f(x,y)\big)^{k-1} \cdot f'_y(x,y) = -2\cdot3(2y+3)^2\cdot2 = - 12(2y+3)^2.$$
Nu kunnen we de partiële afgeleide van $z(x,y)$ naar $y$ bepalen:
$$z'_y(x,y) = u'_y(x,y) + v'_y(x,y) + w'_y(x,y) =0-10xy - 12(2y+3)^2 = -10xy - 12(2y+3)^2.$$
$$z(x,y) = 2x^2(x+2)^2 - 5xy^2 - 2(2y+3)^3.$$
Bepaal de partiële afgeleiden naar $x$ en naar $y$.
De functie $z(x,y)$ is de som van de drie functies $u(x,y)$, $v(x,y)$ en $w(x,y)$, waarbij
$$
u(x,y) = 2x^2(x+2)^2, \qquad v(x,y) = - 5xy^2 \qquad \text{en} \qquad w(x,y) = - 2(2y+3)^3.
$$
De partiële afgeleiden van $z(x,y)$ zijn dan, volgens de somregel, de som van de partiële afgeleiden van $u(x,y)$, $v(x,y)$ en $w(x,y)$.
Laten we beginnen met het bepalen van de partiële afgeleide van $z(x,y)$ naar $x$. Hiervoor hebben we dus $u'_x(x,y)$, $v'_x(x,y)$ en $w'_x(x,y)$ nodig. De functie $u(x,y)$ kunnen we schrijven als het product van twee functies $f(x,y)$ en $g(x,y)$:
$$u(x,y) = f(x,y)g(x,y) \qquad \text{met} \qquad f(x,y) = 2x^2 \qquad \text{en} \qquad g(x,y)=(x+2)^2.$$
We kunnen nu de productregel gebruiken om de partiële afgeleide van $u(x,y)$ naar $x$ te bepalen:
$$
\begin{align}
f'_x(x,y) &= 2\cdot2x = 4x\\
g'_x(x,y) &= 2(x+2)^{2-1} \cdot 1 = 2(x+2)\\[1mm]
u'_x(x,y) &= f'_x(x,y)g(x,y) + f(x,y)g'_x(x,y) = 4x\cdot (x+2)^2 + 2x^2\cdot2(x+2) = 4x(x+2)^2 +4x^2(x+2) .
\end{align}
$$
Voor het bepalen van $g'_x(x,y)$ hebben we gebruik gemaakt van de kettingregel voor machtfuncties. Vervolgens bepalen we $v'_x(x,y)$. We kunnen $v(x,y)$ schrijven als
$$v(x,y) = c\cdot f(x,y) \qquad \text{met} \qquad c = -5y^2 \qquad \text{en} \qquad f(x,y)=x.$$
Merk op dat we de partiële afgeleide naar $x$ bepalen. Dat betekent dat we $y$ als een constante kunnen behandelen, vandaar dat $y^2$ in de constante $c$ staat en niet als aparte functie genoemd is. Volgens de scalairproductregel geldt nu dat
$$v'_x(x,y) = c \cdot f'_x(x,y) = -5y^2 \cdot 1 = -5y^2.$$
Tenslotte bepalen we $w'_x(x,y)$. Merk op $w(x,y)$ niet afhangt van $x$, dus dat we deze functie als een constante kunnen behandelen als we de partiële afgeleide naar $x$ bepalen. De afgeleide van een constante is nul, dus
$$w'_x(x,y) = 0.$$
Nu kunnen we de partiële afgeleide van $z(x,y)$ naar $x$ bepalen:
$$z'_x(x,y) = u'_x(x,y) + v'_x(x,y) + w'_x(x,y) = 4x(x+2)^2 +4x^2(x+2) -5y^2 + 0 = 4x(x+2)^2 +4x^2(x+2) -5y^2.$$
Op eenzelfde manier bepalen we de partiële afgeleide van $z(x,y)$ naar $y$. We beginnen opnieuw met $u(x,y)$, waarbij $u(x,y)$ niet afhangt van $y$. We kunnen deze functie dus als een constante behandelen als we de partiële afgeleide naar $y$ bepalen. De afgeleide van een constante is nul, dus
$$u'_y(x,y) = 0.$$
Vervolgens bepalen we $v'_y(x,y)$. We kunnen $v(x,y)$ schrijven als
$$v(x,y) = c\cdot f(x,y) \qquad \text{met}\qquad c = -5x \qquad \text{en} \qquad f(x,y)=y^2.$$
Merk op dat we de partiële afgeleide naar $y$ bepalen. Dat betekent dat we $x$ als een constante kunnen behandelen, vandaar dat $x$ in de constante $c$ staat en niet als aparte functie genoemd is. Volgens de scalairproductregel geldt nu dat
$$v'_y(x,y) = c \cdot f'_y(x,y) = -5x \cdot 2y = -10xy.$$
Tenslotte bepalen we $w'_y(x,y)$. We kunnen $w(x,y)$ schrijven als
$$w(x,y) = -2 \big(f(x,y)\big)^k \qquad \text{met}\qquad k = 3 \qquad \text{en} \qquad f(x,y)=2y+3.$$
Volgens de scalairproductregel en de kettingregel voor machtfuncties geldt nu dat
$$w'_y(x,y) = -2 \cdot k\big(f(x,y)\big)^{k-1} \cdot f'_y(x,y) = -2\cdot3(2y+3)^2\cdot2 = - 12(2y+3)^2.$$
Nu kunnen we de partiële afgeleide van $z(x,y)$ naar $y$ bepalen:
$$z'_y(x,y) = u'_y(x,y) + v'_y(x,y) + w'_y(x,y) =0-10xy - 12(2y+3)^2 = -10xy - 12(2y+3)^2.$$