Voorbeeld 3

Bepaal de partiële afgeleiden naar $x$ en naar $y$ van de functie
$$z(x,y) = \ln(x^2 + 2y^2 + 13).$$

Voor het bepalen van beide partiële afgeleiden is het handig om $z(x,y)$ te schrijven als
$$z(x,y) = u\big(v(x,y)\big) \qquad \text{met} \qquad u(v) = \ln(v) \qquad \text{en} \qquad v(x,y) = x^2 + 2y^2 + 13.$$
We zullen voor beide partiële afgeleiden de kettingregel gebruiken.

Als we de partiële afgeleide naar $x$ bepalen, hebben we $v'_x(x,y)$ nodig. Hierbij kunnen we $y$ en dus ook $2y^2$ behandelen als een constante; we krijgen dan:
$$v'_x(x,y) = 2x + 0 + 0 = 2x.$$
De partiële afgeleide van $z(x,y)$ naar $x$ is vervolgens:
$$z'_x(x,y) = u'(v(x,y)) \cdot v'_x(x,y) = \dfrac{1}{v(x,y)} \cdot 2x = \dfrac{2x}{x^2 + 2y^2 + 13}.$$

Als we de partiële afgeleide naar $y$ bepalen, hebben we $v'_y(x,y)$ nodig. Hierbij kunnen we $x$ en dus ook $x^2$ behandelen als een constante; we krijgen dan:
$$v'_x(x,y) = 0 + 2\cdot 2y + 0 = 4y.$$
De partiële afgeleide van $z(x,y)$ naar $y$ is vervolgens:
$$z'_y(x,y) = u'(v(x,y)) \cdot v'_y(x,y) = \dfrac{1}{v(x,y)} \cdot 4y = \dfrac{4y}{x^2 + 2y^2 + 13}.$$