Voorbeeld 1

Bepaal de partiële afgeleiden naar $x$ en naar $y$ van de functie

$$z(x,y) = \dfrac{3x - y}{2y+3}.$$

Als we de partiële afgeleide naar $x$ bepalen, is het handig om $z(x,y)$ te schrijven als
$$z(x,y) = \dfrac{3x}{2y+3} - \dfrac{y}{2y+3}  = \dfrac{1}{2y+3} \cdot 3x - \dfrac{y}{2y+3},$$
zodat we $z(x,y)$ kunnen schrijven als
$$z(x,y) = c \cdot u(x,y) + d \qquad \text{met} \qquad c = \dfrac{1}{2y+3}, \qquad d=- \dfrac{y}{2y+3}  \qquad \text{en} \qquad u(x,y) = 3x.$$
Omdat we de afgeleide bepalen naar $x$, kunnen we $y$ behandelen alsof dat een constante is; dit betekent bij het bepalen van de afgeleide naar $x$ dus dat $c$ en $d$ als constanten gezien kunnen worden. Met behulp van de scalairproductregel en de somregel vinden we nu de partiële afgeleide van $z(x,y)$:
$$z'_x(x,y) = c \cdot u'_x(x,y) + 0 = \dfrac{1}{2y+3} \cdot 3 + 0 = \dfrac{3}{2y+3}.$$

Als we de partiële afgeleide naar $y$ bepalen, dan kunnen we $z(x,y)$ schrijven als het quotiënt van twee functies:
$$z(x,y) = \dfrac{w(x,y)}{v(x,y) }\qquad \text{met} \qquad w(x,y) = 3x-y  \qquad \text{en} \qquad v(x,y) = 2y+3.$$
Om de quotiëntregel te kunnen toepassen, hebben we de partiële afgeleiden van $w(x,y)$ en $v(x,y)$ naar $y$ nodig. Bedenk hierbij dat $x$ zich nu als een constante gedraagt; er geldt nu
$$w'_y(x,y) = 0 - 1 = -1 \qquad \text{en} \qquad v'_y(x,y) = 2 + 0 = 2.$$
Volgens de quotiëntregel geldt nu vervolgens:
$$z'_y(x,y) = \dfrac{w'_x(x,y)v(x,y) - w(x,y)v'_x(x,y)}{\big(v(x,y)\big)^2} = \dfrac{-1\cdot(2y+3) - (3x-y)\cdot2}{(2y+3)^2}= \dfrac{-2y-3 - 6x+2y}{(2y+3)^2} = \dfrac{-6x-3}{(2y+3)^2}.$$