Bepaal de partiële afgeleiden naar x en naar y van de functie
z(x,y)=3x−y2y+3.
Als we de partiële afgeleide naar x bepalen, is het handig om z(x,y) te schrijven als
z(x,y)=3x2y+3−y2y+3=12y+3⋅3x−y2y+3,
zodat we z(x,y) kunnen schrijven als
z(x,y)=c⋅u(x,y)+dmetc=12y+3,d=−y2y+3enu(x,y)=3x.
Omdat we de afgeleide bepalen naar x, kunnen we y behandelen alsof dat een constante is; dit betekent bij het bepalen van de afgeleide naar x dus dat c en d als constanten gezien kunnen worden. Met behulp van de scalairproductregel en de somregel vinden we nu de partiële afgeleide van z(x,y):
z′x(x,y)=c⋅u′x(x,y)+0=12y+3⋅3+0=32y+3.
Als we de partiële afgeleide naar y bepalen, dan kunnen we z(x,y) schrijven als het quotiënt van twee functies:
z(x,y)=w(x,y)v(x,y)metw(x,y)=3x−yenv(x,y)=2y+3.
Om de quotiëntregel te kunnen toepassen, hebben we de partiële afgeleiden van w(x,y) en v(x,y) naar y nodig. Bedenk hierbij dat x zich nu als een constante gedraagt; er geldt nu
w′y(x,y)=0−1=−1env′y(x,y)=2+0=2.
Volgens de quotiëntregel geldt nu vervolgens:
z′y(x,y)=w′x(x,y)v(x,y)−w(x,y)v′x(x,y)(v(x,y))2=−1⋅(2y+3)−(3x−y)⋅2(2y+3)2=−2y−3−6x+2y(2y+3)2=−6x−3(2y+3)2.
