Gegeven is de functie
z(x,y)=2x2(x+2)2−5xy2−2(2y+3)3.
Bepaal de partiële afgeleiden naar x en naar y.
De functie z(x,y) is de som van de drie functies u(x,y), v(x,y) en w(x,y), waarbij
u(x,y)=2x2(x+2)2,v(x,y)=−5xy2enw(x,y)=−2(2y+3)3.
De partiële afgeleiden van z(x,y) zijn dan, volgens de somregel, de som van de partiële afgeleiden van u(x,y), v(x,y) en w(x,y).
Laten we beginnen met het bepalen van de partiële afgeleide van z(x,y) naar x. Hiervoor hebben we dus u′x(x,y), v′x(x,y) en w′x(x,y) nodig. De functie u(x,y) kunnen we schrijven als het product van twee functies f(x,y) en g(x,y):
u(x,y)=f(x,y)g(x,y)metf(x,y)=2x2eng(x,y)=(x+2)2.
We kunnen nu de productregel gebruiken om de partiële afgeleide van u(x,y) naar x te bepalen:
f′x(x,y)=2⋅2x=4xg′x(x,y)=2(x+2)2−1⋅1=2(x+2)u′x(x,y)=f′x(x,y)g(x,y)+f(x,y)g′x(x,y)=4x⋅(x+2)2+2x2⋅2(x+2)=4x(x+2)2+4x2(x+2).
Voor het bepalen van g′x(x,y) hebben we gebruik gemaakt van de kettingregel voor machtfuncties. Vervolgens bepalen we v′x(x,y). We kunnen v(x,y) schrijven als
v(x,y)=c⋅f(x,y)metc=−5y2enf(x,y)=x.
Merk op dat we de partiële afgeleide naar x bepalen. Dat betekent dat we y als een constante kunnen behandelen, vandaar dat y2 in de constante c staat en niet als aparte functie genoemd is. Volgens de scalairproductregel geldt nu dat
v′x(x,y)=c⋅f′x(x,y)=−5y2⋅1=−5y2.
Tenslotte bepalen we w′x(x,y). Merk op w(x,y) niet afhangt van x, dus dat we deze functie als een constante kunnen behandelen als we de partiële afgeleide naar x bepalen. De afgeleide van een constante is nul, dus
w′x(x,y)=0.
Nu kunnen we de partiële afgeleide van z(x,y) naar x bepalen:
z′x(x,y)=u′x(x,y)+v′x(x,y)+w′x(x,y)=4x(x+2)2+4x2(x+2)−5y2+0=4x(x+2)2+4x2(x+2)−5y2.
Op eenzelfde manier bepalen we de partiële afgeleide van z(x,y) naar y. We beginnen opnieuw met u(x,y), waarbij u(x,y) niet afhangt van y. We kunnen deze functie dus als een constante behandelen als we de partiële afgeleide naar y bepalen. De afgeleide van een constante is nul, dus
u′y(x,y)=0.
Vervolgens bepalen we v′y(x,y). We kunnen v(x,y) schrijven als
v(x,y)=c⋅f(x,y)metc=−5xenf(x,y)=y2.
Merk op dat we de partiële afgeleide naar y bepalen. Dat betekent dat we x als een constante kunnen behandelen, vandaar dat x in de constante c staat en niet als aparte functie genoemd is. Volgens de scalairproductregel geldt nu dat
v′y(x,y)=c⋅f′y(x,y)=−5x⋅2y=−10xy.
Tenslotte bepalen we w′y(x,y). We kunnen w(x,y) schrijven als
w(x,y)=−2(f(x,y))kmetk=3enf(x,y)=2y+3.
Volgens de scalairproductregel en de kettingregel voor machtfuncties geldt nu dat
w′y(x,y)=−2⋅k(f(x,y))k−1⋅f′y(x,y)=−2⋅3(2y+3)2⋅2=−12(2y+3)2.
Nu kunnen we de partiële afgeleide van z(x,y) naar y bepalen:
z′y(x,y)=u′y(x,y)+v′y(x,y)+w′y(x,y)=0−10xy−12(2y+3)2=−10xy−12(2y+3)2.
z(x,y)=2x2(x+2)2−5xy2−2(2y+3)3.
Bepaal de partiële afgeleiden naar x en naar y.
De functie z(x,y) is de som van de drie functies u(x,y), v(x,y) en w(x,y), waarbij
u(x,y)=2x2(x+2)2,v(x,y)=−5xy2enw(x,y)=−2(2y+3)3.
De partiële afgeleiden van z(x,y) zijn dan, volgens de somregel, de som van de partiële afgeleiden van u(x,y), v(x,y) en w(x,y).
Laten we beginnen met het bepalen van de partiële afgeleide van z(x,y) naar x. Hiervoor hebben we dus u′x(x,y), v′x(x,y) en w′x(x,y) nodig. De functie u(x,y) kunnen we schrijven als het product van twee functies f(x,y) en g(x,y):
u(x,y)=f(x,y)g(x,y)metf(x,y)=2x2eng(x,y)=(x+2)2.
We kunnen nu de productregel gebruiken om de partiële afgeleide van u(x,y) naar x te bepalen:
f′x(x,y)=2⋅2x=4xg′x(x,y)=2(x+2)2−1⋅1=2(x+2)u′x(x,y)=f′x(x,y)g(x,y)+f(x,y)g′x(x,y)=4x⋅(x+2)2+2x2⋅2(x+2)=4x(x+2)2+4x2(x+2).
Voor het bepalen van g′x(x,y) hebben we gebruik gemaakt van de kettingregel voor machtfuncties. Vervolgens bepalen we v′x(x,y). We kunnen v(x,y) schrijven als
v(x,y)=c⋅f(x,y)metc=−5y2enf(x,y)=x.
Merk op dat we de partiële afgeleide naar x bepalen. Dat betekent dat we y als een constante kunnen behandelen, vandaar dat y2 in de constante c staat en niet als aparte functie genoemd is. Volgens de scalairproductregel geldt nu dat
v′x(x,y)=c⋅f′x(x,y)=−5y2⋅1=−5y2.
Tenslotte bepalen we w′x(x,y). Merk op w(x,y) niet afhangt van x, dus dat we deze functie als een constante kunnen behandelen als we de partiële afgeleide naar x bepalen. De afgeleide van een constante is nul, dus
w′x(x,y)=0.
Nu kunnen we de partiële afgeleide van z(x,y) naar x bepalen:
z′x(x,y)=u′x(x,y)+v′x(x,y)+w′x(x,y)=4x(x+2)2+4x2(x+2)−5y2+0=4x(x+2)2+4x2(x+2)−5y2.
Op eenzelfde manier bepalen we de partiële afgeleide van z(x,y) naar y. We beginnen opnieuw met u(x,y), waarbij u(x,y) niet afhangt van y. We kunnen deze functie dus als een constante behandelen als we de partiële afgeleide naar y bepalen. De afgeleide van een constante is nul, dus
u′y(x,y)=0.
Vervolgens bepalen we v′y(x,y). We kunnen v(x,y) schrijven als
v(x,y)=c⋅f(x,y)metc=−5xenf(x,y)=y2.
Merk op dat we de partiële afgeleide naar y bepalen. Dat betekent dat we x als een constante kunnen behandelen, vandaar dat x in de constante c staat en niet als aparte functie genoemd is. Volgens de scalairproductregel geldt nu dat
v′y(x,y)=c⋅f′y(x,y)=−5x⋅2y=−10xy.
Tenslotte bepalen we w′y(x,y). We kunnen w(x,y) schrijven als
w(x,y)=−2(f(x,y))kmetk=3enf(x,y)=2y+3.
Volgens de scalairproductregel en de kettingregel voor machtfuncties geldt nu dat
w′y(x,y)=−2⋅k(f(x,y))k−1⋅f′y(x,y)=−2⋅3(2y+3)2⋅2=−12(2y+3)2.
Nu kunnen we de partiële afgeleide van z(x,y) naar y bepalen:
z′y(x,y)=u′y(x,y)+v′y(x,y)+w′y(x,y)=0−10xy−12(2y+3)2=−10xy−12(2y+3)2.