We bepalen alle $p$ waarvoor de grafieken van de functies $y_1(x)=\frac{1}{4}x^2+px$ en $y_2(x)=2x-p^2$ minstens één snijpunt hebben.
De grafieken hebben een snijpunt als de functiewaarden aan elkaar gelijk zijn. We beginnen dus met het oplossen van de vergelijking $y_1(x)=y_2(x)$.
$\frac{1}{4}x^2+px=2x-p^2 \Leftrightarrow \frac{1}{4}x^2+(p-2)x+p^2=0$.
Definieer de kwadratische functie $f(x)=\frac{1}{4}x^2+(p-2)x+p^2$. Merk op dat de discriminant van $f(x)$ van $p$ afhangt. Er geldt dat $f(x)$ één nulpunt heeft als de discriminant nul is, twee nulpunten als de discriminant positief is en geen nulpunt als de discriminant negatief is. We zijn dus op zoek naar die waarden van $p$ waarvoor $D \geq 0$. We vinden het nulpunt van $D$ als volgt:
$$\begin{align}
D(p)= 0 &\Leftrightarrow (p-2)^2-4\cdot \frac{1}{4}\cdot p^2=0\\
&\Leftrightarrow -4p+4=0\\
&\Leftrightarrow p=1.
\end{align}$$
Uit het tekenoverzicht van $D(p)$ volgt eenvoudig dat voor $p \leq 1$ geldt $D\geq 0$ en dus dat de grafieken minstens één snijpunt hebben.
De grafieken hebben een snijpunt als de functiewaarden aan elkaar gelijk zijn. We beginnen dus met het oplossen van de vergelijking $y_1(x)=y_2(x)$.
$\frac{1}{4}x^2+px=2x-p^2 \Leftrightarrow \frac{1}{4}x^2+(p-2)x+p^2=0$.
Definieer de kwadratische functie $f(x)=\frac{1}{4}x^2+(p-2)x+p^2$. Merk op dat de discriminant van $f(x)$ van $p$ afhangt. Er geldt dat $f(x)$ één nulpunt heeft als de discriminant nul is, twee nulpunten als de discriminant positief is en geen nulpunt als de discriminant negatief is. We zijn dus op zoek naar die waarden van $p$ waarvoor $D \geq 0$. We vinden het nulpunt van $D$ als volgt:
$$\begin{align}
D(p)= 0 &\Leftrightarrow (p-2)^2-4\cdot \frac{1}{4}\cdot p^2=0\\
&\Leftrightarrow -4p+4=0\\
&\Leftrightarrow p=1.
\end{align}$$
Uit het tekenoverzicht van $D(p)$ volgt eenvoudig dat voor $p \leq 1$ geldt $D\geq 0$ en dus dat de grafieken minstens één snijpunt hebben.